求多项式的零点

- [画外音] 这道题是一个五次多项式 p是关于x的函数，题目有几个要求 首先，求出实根 让我们先回忆一下根是什么 根就意味着零 它们就是能够使 多项式的值为零的x值 因此实根就是 当p(x)=0时，x的值 能满足这个条件的x值 就是这个多项式的根或者说是零点 而且要求的是实根 将来你们就会知道 除了实根外，还可能会有虚根、零点 然后我们要思考的就是 这条线穿过x轴几次 我们还会看到，有多少个实根 就会穿过多少次 不管有多少不同值的实根 那就是这条线 穿过x轴的次数 我是怎么知道的呢？ 我们来设想 任意一个多项式 这是我的数轴 这是x轴，这是y轴 让我画一个代表一个任意多项式的图像 就假设这个图像是这样的 就在这里 当x取这个值时，根据函数图像我们可以看出 p(x)=0 所以这是一个根 这个也是一个根 因为x取这个值的时候，函数值也为0 x取这个值时 函数值等于0 如果这个点是在x轴上的，那y值肯定为0 函数值就是0 这个函数图像表示的是 y=p(x) 当然并不非得是p(x) 这只是我任意画的一个函数 所以在函数图像上会有某个x值 使函数值为0 也就是说图像在某个点上 与x轴相交 我们想要求出 该图像与x轴相交的次数 刚才说过，这个次数就等于实根数 或者说等于零点的个数 然后题目让我们求 这些交点中最小的一个 解出这个多项式中的零点 我要给待会儿的计算腾出点位置 我们开始算吧 我们要求的是p(x)=0 我们要把它的函数值设为0 然后求出它的解 也就是说我们要解这个方程 那些零点的x值将能使这个函数值为0 如果我把它们代入函数 函数的值就是0 好的 首先能想到的是 所有这些项都能被x整除 我打算一开始就把它分解出来 我们可以把这个重新写成 x × x^4 +9x^2 -2x^2 -18=0 同时能想到的 还有另一件事 刚在写这个的时候 我的脑子里就反应出来了 我们有两个三次的项 在把x分解出来之后 我们就有了两个二次的项 现在，我们可能很想把这两项加在一起 那当然是正确的做法 来做因式分解从而解出方程 但是我们先不那样做 可以把这个当作一个线索 提示我们可以分组来进行分解 记住，分组进行因式分解的话 你要把中间次项分开，看你能不能 再一次用分配律的逆运算 我们来看看这样做的结果是什么 我们能不能把前两项分成一组 分解出有意思的因式来呢？ 然后再把两个项并在一起 再分出来点有意思的因式呢？ 然后我们或许可以再分解出来点什么 我指的是什么呢？ 这个就相当于是x 乘以 让我写在括号里 这边这一项就相当于 我要先分解出来一个x^2 这个就是x^2加上 稍等 如果把x^2分解出来 我就得到了一个 x^2+9 这边如果我分解出来 一个-2 我不想…… 如果我分解出一个 -2 就会得到 -2× (x^2+9) 这就有意思了，因为这是在告诉我们 我们或许可以分解出x^2+9 让我从每一项里 分解出x^2+9 就会得到x 我先把这里大的绿色的括号留在这里 如果分解出x^2+9 这就会变成(x^2+9) × x^2 x^2-2 x^2-2 我这儿留的地方可能有点多了 我把它删掉 让我把这里的删掉 然后把这个括号补全 就是这个括号 实际上，我甚至可以把这些绿色的括号都脱去 这就变得更简单 到目前为止我们能够从中 分解出x × (x^2+9)×(x^2-2) 这样分解的目的是 看我能不能把它写成 若干表达式乘积等于零的形式 然后我就可以说，“这些因式的乘积…… ……等于零，就意味着至少有一个因式 ……等于零”，然后我就可以求出x的值了 我们算算看 这个已经完全分解了 这个已经完全分解了 如果只考虑实根的话 这边，如果你把2当作√2的平方的话 这个式子就可以看作是两个平方的差 所以我们可以继续分解 当然它们等于零 让我写出它的等价式 我们可以把这个写成是x 乘以 (x^2 +9) × 让我把这个分解成 (x+√2^2) × (x-√2^2) 我把这个看成了两个平方的差 再强调一次，我们只想求出当全部这些相乘 等于零时的解 所有这些的乘积 那么这个表达式怎样等于0呢？ 其中任何一个表达式 等于0的话 乘积就是0 因此x可能等于0 x可能等于0 这已经给了我们一个根了 当x等于0的时候，这个多项式等于0 这个非常容易验证 我们看看，x^2+9能不能等于0 x^2+9=0 如果两边同时减去9 就得到了x^2=-9 这就是我为什么说，这并没有实数解 让我写下来 没有实数解 这里有虚数的解，但是没有实数解 那么，x+√2可以等于0吗？ x+√2=0 两边同时减去√2 就得出x=-√2 那么x-√2可以等于0吗？ 当然，两边同时加上√2 就得到了x=√2 我们已经求出来了 所有的零点都在这里 x可能等于0 p(0)=0 p(-√2^2)=0 p(√2^2)=0 这是我们所有的零点 这些零点分别是0，-√2 和正√2 这就是图像三次 与x轴相交的点 那么哪一个是最小的截距呢？ 最小的是这个 就是 -√2 你也可以用另一种方法计算 你可以把这边的这一部分 哪一部分呢？ 就是这一部分 然后加上两个中间次项 再按照不分组的形式进行因式分解 我鼓励你那样做做试试 但只是为了证明 这些零点确实是x轴截距 我用了Wolfram|Alpha做出了这个多项式的图像 就是这个图像 这边这个 如果你看到一个五次多项式 知道它有5个实数零点 但如果它有虚数零点的话 它就不会有5个实数零点 比如这道题里的，它就只有3个 那是因为未来我们会学到 这些虚数的零点 总是成对出现 所以如果你没有5个实根 你就很有可能有 3个实根 如果你没有3个实根 你就很有可能只有一个实根 这个是很有趣的发现 因此，你可以看到这道题目有3个实根 你能看到你的三个实根 与函数值为零 也就是与x轴相交时的x值 是一一对应的