函数对称性简介

你们或许已经听说过 偶数和奇数的概念， 今天在这个视频中，我们要学习偶函数和奇函数。 一会儿你们将会看到 这两者之间有些相似和联系， 也有许多不同之处。 首先我们来看偶函数是什么。 研究偶函数的一个方法就是 如果你把函数曲线绕 y 轴旋转， 函数曲线看起来完全一样。 我们来看一个偶函数的经典举例。 我们把这个函数图像画在这里， 这是一个典型的抛物线。 函数的顶点 在 y 轴上。 这是一个偶函数。 这个曲线就是 x 的函数等于x的平方的图像。 请注意，如果你把这个曲线绕 y 轴旋转， 你会得到完全相同的曲线图像。 现在，我们可以 从数学的角度来讨论， 我们引入映射的概念， 如果一个函数 等于它相对 y 轴的映射， 那么，x 的函数等于负x 的函数。 因为，如果你用负 x 代替 x 就是使函数曲线绕 y 轴旋转。 现在我们来看，什么是奇函数。 奇函数，就是当你 绕 y 轴旋转，再绕 x 轴旋转，能得到相同的函数图像。 让我来画一个经典的奇函数例子 这个经典的例子就是 x 的函数等于 x 的3次方。 它的图像是这样的。 注意，如果你先绕 y 轴旋转， 你就得到这样的图像， 我们用虚线表示 如果只是绕 y 轴旋转， 它是这样的。 然后，如果你再相对绕 x 轴旋转， 好，你就得到了和原来完全相同的函数曲线。 那么，现在我们怎样写出它的数学表达呢？ 看，我们的函数等于 不仅绕 y 轴旋转， 这就是负 x 的函数， 而且绕 x 轴旋转， 这就是函数的负值。 这是两次翻旋转的结果。 有些同学会注意到一个模式， 或者几乎可以看到一个模式， 它与我们在前面学习数学的过程中， 偶数和奇数的概念相关， 我刚才给你们讲了一个偶函数， 它的指数是偶数。 刚才讲到的奇函数， 它的指数是奇数。 现在，我鼓励大家尝试更多更多的多项式 和指数函数， 我们可以看到， 如果仅仅是 x 的函数等于 x 的 n 次方， 当 n 是偶数时，它就是偶函数， 当 n 是奇数时，它就是奇函数。 这就是它们之间的关系。 现在，有些同学会想到， 等一下，看来有好多函数 既不是偶函数，又不是奇函数。 实事正是如此。 举一个例子，如果函数是 x 的平方加 2， 图形画在这里，它仍然是一个偶函数。 因为你旋转它 你可以看到它对 y 轴对称。 你可以得到它原来的图像。 但是如果函数是 x - 2 的平方， 它的图像是这样的， x-2， 就要向右移动 2， 图像看起来是这样的。 它就不再是偶函数了。 因为，如果你让它绕 y 轴旋转， 你不能得到相同的函数图像。 这不是单纯的指数函数。 函数表达式的结构影响很大。 如果函数很简单，就像 x 的 n 次方， 那么函数的奇偶性 取决于 n 的奇偶性。 和上面例子类似，如果我们移动这个 x 的函数， 如果我们把它向上平移， 它就不再是，看，如果这是 ， x 的3次方加3， 它就不再是奇函数了。 因为，我们旋转一次，你得到这条曲线， 但是，如果你再旋转一次，你就得到这条曲线。 你得到这条曲线 你没有得到原来的函数。 现在，我们考虑一个有趣的问题， 是不是可以想象会有一个函数，既是偶函数又是奇函数呢？ 所以，我建议你们暂停视频播放， 自己努力思考一下。 是不是有一个函数，f(x) 等于 f(-x)， 而且，f(x) 也等于 -f(-x) 呢？ 好的，我给你们一些线索， 或者说，我给你们答案。 如果 f(x) 只是等于常数 0， 注意，它只是一条水平线， 就像这样，y 等于0. 如果你把它绕 y 轴旋转， 你得到它原来的曲线， 然后，你把它绕 x 旋转， 你仍然可以得到原来的曲线。 这个函数既是偶函数，又是奇函数。 这是一个非常有趣的例子。