正弦和余弦特性：对称性

我们一起进一步 探索一下单位圆 我们先取任意角θ 在这个视频中 我们假设所有角度单位都是弧度 此处的这个角 我们叫它θ 现在让我们把这个角的 我们称之为“终边”的那条边 沿x轴和y轴做一些翻折 让我们补上坐标轴的字母 我们把这个角沿x轴正半轴翻折 沿x轴正半轴翻折 意味着笔直向下 在x轴的另一侧走同样的距离 抵达这个点 得到这条射线 你将得到这条射线，让我把它画成蓝色 你将得到此处的这条射线 那么，这个角与x轴正半轴之间的角度是多少？ 假如我们从x轴正半轴出发的话？ 让我们以从x轴出发 绕逆时针旋转为正 而此处是顺时针的 我们不是从x轴出发往上走 而是往下走 我们按照约定 称此角为-θ 现在让我们再次翻折最初的绿色射线 这次我们沿着y轴正半轴翻折 沿着y轴正半轴翻折的话 我们将从这儿一直翻到这儿 我们在这儿再画一条射线 我尽力画了 这个角的大小是多少呢？ 这个角在弧度单位下的大小是多少呢？ 我们知道，从x轴正半轴 一路转到x轴负半轴 得到的是π个弧度 因为它是整个圆周的一半 这个角，因为我们知道这个角是θ 故而此处的角也是θ 而我们想要求出的这个角呢 因为这一圈等于π 所以它就等于π减去 它就等于π减去θ 注意，（π - θ） + θ 这两个角互补 因为他们加起来等于π弧度，也就是180° 现在让我们把这条边进一步沿x轴负半轴翻折 假如我们把这条边沿x轴负半轴翻折 就到了这里 于是你就得到了这样一个角 像这样子 那么这个角的大小是多少呢？ 如果我们一路转这么一大圈 所得到的角的大小是多少呢？ 这一段的大小是π 接着我们又走了一个θ 此处的这个角是θ 于是我们在π的基础上再加一个θ 这一整个角 这一整个 这一整个就等于π + θ弧度 π + θ 让我们把它写下来 它等于π+θ 现在既然我们已经弄清楚了 图中这些边之间的对称关系 让我们来考虑一下这些角的 正弦与余弦彼此有怎样的关系 我们已经知道此处这个点的坐标 它是sinθ 不对，横坐标应该是cosθ 这个点的横坐标是cosθ 纵坐标是sinθ 也可以这样理解： x轴上此处的值是cosθ y轴上此处的值 是sinθ 现在我们来考虑下面这个点 同理，这个点 这实际上是我们针对三角函数的 单位圆定义 这个点，由于此处的角是负的 它的坐标是cos(-θ)，逗号 sin(-θ) 对这里也是一样 这个点 它的横坐标是cos(π-θ) 因为从x轴正半轴出发来衡量的话 这个角就等于π-θ 横坐标是cos(π-θ) 而它的纵坐标则是sin(π-θ) 最后我们走一大圈来到这个点 我想你已经摸着门道了 想必你会说，它的横坐标是cos(θ+π) 或者说(π+θ) 让我们写成π+θ，以及sin(π+θ) 好了，刚才这些坐标之间有什么关联？ 请注意，在右手边这里 我们两个点的横坐标是相等的 它们都等于这个值 于是我们知道了cosθ必须等于 cos(-θ) 有意思 让我们把它写下来 cosθ等于… 让我把它写成蓝色 它等于cos(-θ) 这是一个有趣的结论 那它们的正弦又是何关系？ 嗯，在这里，sinθ 在x轴的上方 而在这里，sin(-θ)则在x轴的下方 相同距离的位置上 所以它们是一对相反数 于是我们可以说，sin(-θ) sin(-θ)等于 等于sinθ的相反数 等于-sinθ 一对相反数 往x轴的上下各转一个相同的角度 你将得到一对互为相反数的正弦 接下来我们可以故技重施 这两组坐标是何关系？ 它们的正弦值应该是相等的 这个角的正弦，对应纵坐标 等于那个角的正弦 我们看到，这个正弦，必须等于，那一个 让我们把这个结论写下来 我们得到了：sinθ = sin(π-θ) 现在我们来看看两者余弦间的关系 一样的道理，它们 互为相反数 因为两个横坐标分别在 原点左右两侧相同距离的位置上 于是我们得到了cosθ等于 -cos…… 让我换相同的颜色来写 让我保证我的颜色是对的 我们得到，cosθ等于 -cos(π-θ) 最后，让我们来考虑这个角 在这里，我们的余弦值，我们的横坐标是负数 我们的正弦值也是负数 因为我们沿两坐标轴都做了翻折 让我们把结论写下来 在此处，我们有：sin(θ+π) 亦即sin(π+θ) 等于-sinθ 如我们所见，这是sinθ 这是sin(π+θ) 亦即sin(θ+π) 与此同时，cos(θ+π) cos(θ+π)就等于 -cos(θ) 等于-cos(θ) 到了这一步，你其实 还可以更进一步 你可以试着将这个和那个关联起来 又或者那个和那个 你可以得到一系列有趣的结论 你不妨自己动手试试 想想所有这些三角函数 是如何藉由关于x轴或y轴的对称性 被关联在一起的