2ˣ 和 log₂(x)图像的关系

在这个视频中， 我要画出一个典型的指数函数图像， 然后再画出与它对应的对数函数的图像， 看看这两者在图像上的关系。 我要画图的两个函数 分别是 y 等于 2 的 x 次方， 以及 y 等于以 2 为底的 x 的对数。 我建议你暂停视频， 分别找出一些点， 然后把它们画在同一个坐标系里。 看看它俩之间的关系， 然后想想为什么 两者是这样的关系。 我们先来看 y 等于 2 的 x 次方。 先画一个表， 不同的 x 对应不同的 y。 x 和 y，我们从 -2 开始 -1，0，1，2，3， 每种情况的 y 值都等于 2 的这个次方。 2 的 -2 次方等于 1/4。 2 的 -1 次方等于 1/2， 2 的 0 次方等于 1， 2 的 1 次方等于 2， 2 的 2 次方等于 4， 2 的 3 次方等于 8。 我们来画图， 2 的 3 次方等于 8， 2 的 2 次方等于 4， 2 的 1 次方等于 2， 2 的 0 次方等于 1， 2 的 -1 次方等于 1/2， 2 的 -2 次方等于 1/4。 而 2 的 -3 次方则等于 1/8， 所以应该是这样， 函数的图像是这个样子。 这就是经典的曲棍球杆曲线， 通常都是形容指数上升的趋势， 像曲棍球杆， 刚开始慢慢上升， 然后忽然，嘣，急剧飙高。 注意，当我们沿 x 轴向左， x 向负方向走得越远， 函数值越接近 0，但永远到不了 0。 比如 2 的负一百万次方， 它会等于一个非常非常小的数， 非常接近 0， 但不会精确等于 0。 所以 y = 0 是它的水平渐近线， 或者说 x 轴是它的水平渐近线。 可以了， 我们现在来看 y 等于以 2 为底的 x 的对数， 我们用另一种想法来表示它。 根据对数的定义， 对于任意 x，找到 2 的几次方等于这个 x， 这个“几次方”就是 y。 也就是说， 它等价于 2 的 y 次方等于 x。 这就有趣了， 本质上说， 二者的区别仅仅是交换了 x 和 y。 这是 2 的 x 次方等于 y， 这是 2 的 y 次方等于 x， 这二者仅仅交换了 x 和 y。 我们可以把这两列交换过来， x 和 y， 我写上 1/4、1/2、1、2、4、8 现在我们说，当 x 等于 1/4 时， 2 的几次方等于 1/4 呢？ 2 的 -2 次方等于 1/4。 2 的 -1 次方等于 1/2， 2 的 0 次方等于 1， 2 的 1 次方等于 2， 2 的 2 次方等于 4， 2 的 3 次方等于 8。 请注意， 我们实际上只是 把这两列做了交换。 现在来画图， 当 x 等于 1/4 时，y 等于 -2， 当 x 等于 1/2 时，y 等于 -1， x 等于 1 时，y 等于 0， x 等于 2 时，y 等于 1， x 等于 4 时，y 等于 2， x 等于 8 时，y 等于 3， 图像是这个样子。 我想，你们可能已经看出规律来了。 这两条曲线实际上是对称的， 那么它俩是关于什么对称呢？ 它们是关于 y = x 对称的， 如果你把 x 和 y 交换， 换种说法， 如果交换坐标轴， 你就得到另一条曲线。 本质上，我们就是这么做的。 它俩关于这条直线对称， 其本质就是因为 它们互为反函数。 也就是我们把 x 和 y 互换了， 因此，当 x 向负方向走的越来越远， y 趋近于 0， 而这里是 y 向负方向走的越来越远， x 就趋近于 0， 或者你可以说当 x 趋近于 0， y 趋近于负无穷。 我讲了这么多， 就是想让你对 指数函数和对数函数的关系 有更深的理解。 它俩互为反函数， 你在图中可以看到， 它俩是对称的，对称轴是 y = x。