线性与指数增长：从数据入手

自1950年起的 一颗橡树或白桦树的树枝数量 如下表所示。 我们可以看到，比如当时间等于0年时， 橡树有34枝树枝。 三年后，橡树有了46枝树枝， 以及以下等等。 白桦树这边的数据格式也很类似。 一开始一颗白桦树有8枝树枝， 十年后则一共有了33枝树枝，同时后面年份的所有数据我们也都有了。 在这段视频中，我希望我们可以想一下 应该如何给此问题建模。 如果我们希望为此建立函数模型的话， 我们对于函数类型的选择， - 虽然也有其他选项 - 但是 在这段视频当中，我们将会从 线性函数和 指数函数中选择。 这两种选择 哪一个更适合用来为这两组数据建模呢？ 让我们先来从橡树的数据看起。 最重要的认知是：对于每一个固定时长相等的时间段来说， 我们可以看到这里每一步 都是比上一步增加3年。 所以我们的时间差是固定不变的。 那树枝数量的变化又是怎样的呢？ 它的变化也是固定的吗？ 或者至少是大致固定的吗？因为在此情况下， 线性函数大概会更合适。 还是说，树枝的变化会取决于 每次增长前的树枝数量呢？ 所以具体我是想表达什么呢？ 从34到46，树枝增长了12枝， 46到59，增长了13枝， 59到70，增长了11枝， 最后70到82，增长了12。 最开始你可能会想说， 这个变化量并不是固定不变的， 同时这几个数字的平均值大概是12。 但当你面对的是未经处理的真实应用题数据的话， 你并不能得到完完全全严谨的数据。 模型只能给我们一个很好的拟合， 一个和树枝随时间增长量 非常贴近的近似值。 我觉得我们的数据已经非常接近 每年12枝的固定增长量了。 所以我会选择在这里用线性模型。 我们将树枝数量定义为 取决于时间变量的函数。 我重新解释一下，这里并不是每年增长12枝， 而是每三年增长12枝。 12枝，然后这是三年增长了13枝， 这是三年增长了11枝。 我们就定义平均每三年树枝增长12枝。 所以我们从最初的树枝数量开始， 最初有34枝， 然后减去， 如果我们每三年增长12枝树枝， 那么就是每（年）增长4枝， 事实上应该是加上， 每年加上4枝树枝。 你可以检查这个式子是否正确。 B（0）等于34枝树枝， B（12）呢， 让我们把两极的数据都检查一遍， B（12）等于34加48， 等于82。 所以我们的模型是对的。 让我们看看其他并不是与模型数据 百分之百拟合的原始数据。 但这些数据也是非常非常接近了。 所以这是一个线性模型， 所以橡树这个是线性的。 接下来让我们看看白桦树。 我们从时间等于0开始看，时间差依然是固定的。 没错我们依然是有固定的时间增长， 每次时间向未来增长10年。 让我们来看看树枝增长量。 从8枝到33枝， 是多少呢？ 是增加了25枝。 接下来，从33枝到128枝， 这可比增加25枝多多了， 所以这是多少呢， 还差5枝不到100， 也就是95枝树枝。 这一看就能确定不是线性模型。 那让我们来考虑一下指数模型。 我们需要乘多少次才能（模拟这个变化）... 等等我算对了吗 128减去(33)，对，如果从133减的话 就是相差100， 然后128比133少5，没问题。 那么现在让我们来 考虑一下指数函数。 如果是一个指数函数的话， 我们每一步要 乘多少？ 我们每度过一个固定的时间段增长， 我们要乘以多少 来模拟树枝增长呢？ 从8枝到33枝， 大概增长了4倍。 比4倍稍微多一点。 33枝到128枝， 比四倍稍微少一点， 但也差不多是4倍左右。 33乘以4等于132，所以很接近。 128枝到512枝，正好是差4倍对不对？ 120乘以4等于480， 然后加上（8 * 4 = ）32， 没错，刚好等于512。 所以这里是乘以4。 看上去只要我们每过十年 为树枝数量乘以4就差不多可以了。 所以一种处理的方法是 我们定义B（t），在第t年的树枝量是 最初的8枝， 乘以增长倍数4。 但如果t代表的是每1年的话， 我们是每10年增长4倍， 所以如果想让指数等于1， 我们需要让t等于10， 指数等于2的话，t需要等于20. 所以最后得到，8乘以4的十分之t次方。 这个模型看起来没问题。 你想的话也可以自己验证一下。 比如说试试B（30）等于多少。 B（30）等于8乘以 4的30除以10次方， 等于多少呢？ 等于4的3次方，也就是64， 64枝树枝， 8乘以64等于， 480加上32， 也就是512枝。 所以这个指数模型 非常不错地模拟了白桦树的数据。