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课程: 代数2 > 单元 2

课程 5: 复数乘法

复数乘法

了解如何将两个复数相乘。例如, (1 + 2 i)⋅(3 + i)。

复数是任何可以写成

a + b i

形式的数，其中

i

是虚数单位，

a

和

b

是实数。

进行复数乘法时，记住我们进行实数运算的计算法则对复数也适用。

有时候，把

i

想象成一个变量，如

x

，很有用。然后，只需要在最后几步做一些调整，我们就能如期进行乘法运算。让我们通过几个例题来仔细研究。

实数乘以复数

例题

解

- 4 (13 + 5 i)

乘积。用

a + b i

形式写出答案。

解法

如果你本能的要用乘法分配律分配

- 4

，那就对了！我们就这么做！

\begin{aligned} - 4 (13 + 5 i) & = - 4 (13) + (- 4) (5 i) \\ = - 52 - 20 i \end{aligned}

就是这样！我们用了乘法分配律来进行实数和复数的乘法运算。我们试试增加难度。

纯虚数乘以复数

例题

求

2 i (3 - 8 i)

的乘积。用

a + b i

形式写出答案。

解法

同样，将

2 i

分配到括号内的每一项。

\begin{aligned} 2 i (3 - 8 i) & = 2 i (3) - 2 i (8 i) \\ = 6 i - 16 i^{2} \end{aligned}

目前答案还不是以

a + b i

形式表达，因为含有

i^{2}

。

但我们知道

i^{2} = - 1

，将其代入看看结果。

\begin{aligned} = 6 i - 16 i^{2} \\ = 6 i - 16 (- 1) \\ = 6 i + 16 \end{aligned}

运用乘法交换律将答案写为

16 + 6 i

，因此

2 i (3 - 8 i) = 16 + 6 i

。

练习

问题 1

求 $3 (- 2 + 10 i)$ ‍ 乘积。
用 $a + b i$ ‍ 形式写出答案。

问题 2

求 $- 6 i (5 + 7 i)$ ‍ 乘积。
用 $a + b i$ ‍ 形式写出答案。

棒极了！现在我们做好准备再进一步！下面是求解复数乘积更典型的例题：

两个复数相乘

例题

求

(1 + 4 i) (5 + i)

乘积。用

a + b i

形式写出答案。

解法

做这题时，有些人发现把

i

想象成为一个变量有助解题。

事实上，这两个复数相乘的过程和二项式乘法非常相似！将第一个数里的每一项乘以第二个数里的每一项。

\begin{aligned} (1 + 4 i) (5 + i) & = (1) (5) + (1) (i) + (4 i) (5) + (4 i) (i) \\ = 5 + i + 20 i + 4 i^{2} \\ = 5 + 21 i + 4 i^{2} \end{aligned}

因为

i^{2} = - 1

，将

- 1

代入

i^{2}

获得要求的答案形式

a + b i

。

\begin{aligned} = 5 + 21 i + 4 i^{2} \\ = 5 + 21 i + 4 (- 1) \\ = 5 + 21 i - 4 \\ = 1 + 21 i \end{aligned}

检查你对内容的理解

问题 3

求 $(1 + 2 i) (3 + i)$ ‍ 乘积。
用 $a + b i$ ‍ 形式写出答案。

问题 4

求 $(4 + i) (7 - 3 i)$ ‍ 乘积。
用 $a + b i$ ‍ 形式写出答案。

问题 5

求 $(2 - i) (2 + i)$ ‍ 乘积。
用 $a + b i$ ‍ 形式写出答案。

问题 6

求 $(1 + i) (1 + i)$ ‍ 乘积。
用 $a + b i$ ‍ 形式写出答案。

挑战题

问题 1

设 $a$ ‍ 和 $b$ ‍ 为实数。求 $(a - b i) (a + b i)$ ‍？

问题 2

进行所示运算并简化。 $(1 + 3 i)^{2} \cdot (2 + i)$ ‍
用 $a + b i$ ‍ 形式写出答案。

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