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课程: 代数2 > 单元 1

课程 1: 函数的合并

合并同类项简介

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了解我们可以将两个函数相加、相减、相乘或相除以构成一个新函数的想法。

正如我们可以加、减、乘、除数字一样，我们也可以对函数作加、减、乘、除。

两个函数相加

第一部分：将两个函数相加，得到一个新的函数

我们把

f (x) = x + 1

和

g (x) = 2 x

相加，得到一个新的函数。

$\begin{aligned} f (x) + g (x) & = (x + 1) + (2 x) \\ = x + 1 + 2 x \\ = 3 x + 1 \end{aligned}$ ‍

我们称此为新函数

h

。于是我们得到：

$h (x) = f (x) + g (x) = 3 x + 1$ ‍

第二部分：计算一个整合的函数

我们还可以代入特定的值，计算整合函数的值。我们代入

x = 2

来计算函数

h

的值。有以下两种方式。

方法1： 在整合函数

h

中代入

x = 2

。

$\begin{aligned} h (x) & = 3 x + 1 \\ h (2) & = 3 (2) + 1 \\ = 7 \end{aligned}$ ‍

方法2：计算

f (2)

和

g (2)

，然后把结果相加。

因为

h (x) = f (x) + g (x)

，我们还可以通过计算

f (2) + g (2)

来求

h (2)

。

首先，我们求

f (2)

：

$\begin{aligned} f (x) & = x + 1 \\ f (2) & = 2 + 1 \\ = 3 \end{aligned}$ ‍

现在，我们求

g (2)

：

$\begin{aligned} g (x) & = 2 x \\ g (2) & = 2 \cdot 2 \\ = 4 \end{aligned}$ ‍

所以

f (2) + g (2) = 3 + 4 = 7

。

注意，把

x = 2

直接带入函数

h

，以及先求

f (2) + g (2)

，我们得到的结果是相同的！

现在我们试着练习几道题。

练习 1 和 2 中，

f (x) = 3 x + 2

且

g (x) = x - 3

。

练习 1

求 $f (x) + g (x)$ ‍。

练习 2

计算 $f (- 1) + g (- 1)$ ‍。

这里有几个方法可以求解。

方法1： 分别求

f (- 1)

和

g (- 1)

。然后两者相加。

首先，我们求

f (- 1)

：

$\begin{aligned} f (x) & = 3 x + 2 \\ f (- 1) & = 3 (- 1) + 2 \\ = - 1 \end{aligned}$ ‍

接着，求

g (- 1)

：

$\begin{aligned} g (x) & = x - 3 \\ g (- 1) & = - 1 - 3 \\ = - 4 \end{aligned}$ ‍

所以

f (- 1) + g (- 1) = - 1 + (- 4) = - 5

方法2： 先求

f (x) + g (x)

，然后求

x = - 1

时代数式的值。

$\begin{aligned} f (x) + g (x) & = (3 x + 2) + (x - 3) \\ = 3 x + 2 + x - 3 \\ = 4 x - 1 \end{aligned}$ ‍

当

x = - 1

时，这个代数式就等于

4 (- 1) - 1

或

- 5

。

图像联系

我们同样能通过观察函数的图像，理解两个函数相加的意义。

y = m (x)

与

y = n (x)

的图像如下所示。在第一个图像中，注意

m (4) = 2

。第二个图像中，注意

n (4) = 5

。

设

p (x) = m (x) + n (x)

。现在来看

y = p (x)

的图像。注意

p (4) = 2 + 5 = 7

。

考考你自己，代入

x

不同的值，在三个图像中找出

p (x) = m (x) + n (x)

的值。

我们来练习。

练习 3

y = f (x)

以及

y = g (x)

的图像如下所示。

哪个数最接近 $f (3) + g (3)$ ‍的值？

求混合函数的其他方法

到目前为止，我们看到的几个例子都是通过把两个函数相加，得到一个混合函数。但是你还可以将两个函数相减、相乘以及相除，得到新的函数！

比如，如果

f (x) = x + 3

且

g (x) = x - 2

，那么我们不仅能求和，还能……

……求差。

\begin{aligned} f (x) - g (x) & = (x + 3) - (x - 2) 代入。 \\ = x + 3 - x + 2 撤括号，调整加减号。 \\ = 5 因式整合。 \end{aligned}

……求积。

\begin{aligned} f (x) \cdot g (x) & = (x + 3) (x - 2) 代入。 \\ = x^{2} - 2 x + 3 x - 6 撤括号。 \\ = x^{2} + x - 6 因式整合 \end{aligned}

……求商。

\begin{aligned} f (x) \div g (x) & = \frac{f (x)}{g (x)} \\ = \frac{(x + 3)}{(x - 2)} 代入。 \end{aligned}

这样，我们得到了三个新的函数！

挑战题

p (t) = t + 2

q (t) = t - 1

r (t) = t

求 $p (3) \cdot q (3) \cdot r (3) - p (3)$ ‍。

首先我们在每个方程中代入

t = 3

，求

p (3)

、

q (3)

和

r (3)

。

首先，我们求

p (3)

：

$\begin{aligned} p (t) & = t + 2 \\ p (3) & = 3 + 2 \\ = 5 \end{aligned}$ ‍

接着，求

q (3)

：

$\begin{aligned} q (t) & = t - 1 \\ q (3) & = 3 - 1 \\ = 2 \end{aligned}$ ‍

最后，我们求

r (3)

：

$\begin{aligned} r (t) & = t \\ r (3) & = 3 \\ = 3 \end{aligned}$ ‍

我们现在可以求

p (3) \cdot q (3) \cdot r (3) - p (3)

，方法如下：

\begin{aligned} p (3) \cdot q (3) \cdot r (3) - p (3) & = 5 \cdot 2 \cdot 3 - 5 \\ = 30 - 5 \\ = 25 \end{aligned}

我们可以先求

p (t) \cdot q (t) \cdot r (t) - p (t)

，然后计算当

t = 3

时，代数式的值。但这样会更复杂一点，因为答案会是三次多项式！

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