高阶多项式因式分解

在图中画出给定多项式的实数根（零点）。 我们已知 p(x) 等于 2x 的 5 次方 加 x 的 4 次方减 2x 减 1。 然后题目要求在下面这个交互图上画出点。 在任何地方点一下，就画了一个点。 画多少点都可以， 还可以把点拖到别处， 或者不想要这个点了， 把它拖到右下角这个垃圾桶里， 就把它删了。 我们先想想这个多项式的零点是什么。 我先把手写板调出来。 一看这道题就让人觉得有些气馁， 这是 5 次多项式。 5 次多项式的因式分解 不是技术，而是艺术， 你真的需要好好找规律。 话说回来，如果题目要求你 找出它的零点， 不用电脑和计算器， 那这个式子一定有规律。 我把 p(x) 写下来， p(x) 等于 2x 的 5 次方加 x 的 4 次方 减 2x 减 1。 通常来说，想要因式分解这种多项式 你可以反用分配率多尝试几次。 如果你非要问这是哪种因式分解的套路的话， 那么可以说这是分组分解法。 比如，你看到 2x - 1， 或者像是 2x - 1 的东西。 而这里你看到 2x 的 5 次方加 x 的 4 次方， 也就是 2x 的较高次方项加 1x 的低一次方项。 这好像就是某种规律。 2 乘以 x 的较高次方 ——这是一次项—— 减去 1 乘以较低次方 ——这里可以当做 x 的 0 次方。 我们想一想， 如果我们将这两项和 这两项进行分组， 然后提出公因子、整理一下， 然后看看有什么突破。 这两项，它们的最大公因子是 x 的 4 次方， 我们写成 x 的 4 次方乘以 2x + 1， 一看到这个感觉精神一振， 这里和这里太像了， 尤其是我提出来一个 -1 之后。 我们提出一个 -1， 这里就变成 2x + 1， 我们就能很开心的把 2x + 1 作为公因子提出去了。 我们得到 2x + 1， 我们从这两部分都提出一个 2x + 1。 我们从这部分中提出 2x + 1， 这一项剩下 x 的 4 次方， 然后是这一部分， 剩下 -1。 非常好，因为这个 2x + 1 很容易求解它等于 0 时的 x 值。 我们马上会处理它。 而这里，也非常容易分解， 这能用平方差公式。 这里等于 x 平方加 1 乘以 x 平方减 1， 当然最前面还是 2x + 1。 这里又是一个平方差， 我们还能用一次平方差公式。 这就等于 x + 1 乘以 x - 1， 我把表达式剩下的部分写全， x 平方加 1， 还有 2x 加 1。 现在，我觉得 p(x) 分解到这里已经到头了。 因此 p(x) 等于所有这些。 请记住，我进行因式分解， 全都是为了找到能让表达式等于 0 的值。 如果 p(x) 等于这些表达式的乘积， 它们中任一个等于 0，p(x) 就等于 0。 它们中任一个等于 0， 整个的表达式 p(x) 就等于 0。 那么 2x + 1 何时等于 0 呢？ 2x + 1 = 0， 心算就可以了， 或者也可以用标准算法， 两边同时减 1， 得到 2x 等于 -1， 两边同时除以 2，得到 x 等于 -1/2。 当 x 等于 -1/2 时—— 或者另一种表示法—— p(-1/2) 等于 0。 这个就表示图上的一个点， 是 p(x) 的其中一个实数根（零点）。 现在我们来解这个， x 平方加 1 等于 0， 我先写下来你看看。 如果要解，首先要两边同时减 1—— 得到 x 平方等于 -1。 如果我们要考虑虚数根， 那么 x 就可以解出来， 但题目要求我们找的是实数根， 实数根（零点）。 没有哪个实数的平方等于 -1， 因此如果将这部分设为 0 的话， 我们是找不到实数根的。 不存在实数 x，满足 x 平方加 1 等于 0。 现在我们考虑 x 加 1 等于 0 的情况， 两边同时减 1， 得到 x = -1， 因此 p(-1) 等于 0。 我们又找到一个零点。 最后，我们考虑 x 减 1 等于 0， 我们两边都加 1， x 等于 1， 我们又得到一个零点，一个实数根。 我们现在可以把点画出来。 有 -1，-1/2，还有 1。 提交答案，正确。 但你可能还有些疑虑，你会说 可汗兄弟，等会儿， 你刚才这么分组，恰好就对了， 如果分组方式不同呢？ 如果这样，我们来试试， 这是有趣的想法。 这可不是运气好， 有很多种方法都能得到最终答案。 如果不这样写， 如果不是这样先最高次项、 然后第二高次项，以此类推， 而是这个顺序：p(x) 等于 2x 的 5 次方，减 2x 加 x 的 4 次方减 1。 实际上，就算如此， 你也可以分组。 如果你以这两项为一组， 它俩的公因子为 2x， 提出 2x，得到 2x 乘以 x 的 4 次方减 1， 我想你应该看出来了。 这里写作加 1 乘以 x 的 4 次方减 1。 然后你可以提出 x 的 4 次方减 1， 剩下——我换个自然的颜色—— x 的 4 次方减 1 乘以 2x 加 1， 这里就更好分解了， 平方差公式， 和前面的做法一样。 所以，有很多方法进行分组， 然后反用分配率。 但我承认这就是艺术。 你只需要这么随意的一看， 说，我们试试前两项分一组， 看看有没有公因式， 后两项分一组， 看看有没有公因式， 嗯？提出公因式之后， 两组都含有相同的表达式啊， 然后你就可以把它再提出去，就成了。