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课程: 代数2 > 单元 4

课程 13: 多项式的图像

多项式的图像

分析多项式来勾勒其图像。

学习这节课之前你应该熟悉些什么

函数

f

的末端走势是该函数在

x

轴"远端"处图像表现的描述。在代数中，末端走势由以下两个问题决定:

当 $x \to + \infty$ ‍, $f (x)$ ‍趋近于?
当 $x \to - \infty$ ‍, $f (x)$ ‍趋近于?

如果你没有学过这个知识点，我们建议你看一下这篇文章多项式的末端走势.

函数

f

的零点与它的图像在

x

轴的交点相对应。如果

f

的零点是奇数次幂, 它的图像会在那个

x

值穿过

x

轴。如果函数

f

有一个偶数次幂的零点, 那么它的图像在那一点与

x

轴相切。

如果你没有学过这个知识点，我们建议你看一下这篇文章多项式的零点。

本课内容

这节课, 我们需要用到以上知识点来分析和绘制多项式的图像. 然后我们要用多项式的图像来找出多项式的正与负区间.

分析多项式函数

我们接下来要分析多项式函数

f (x) = (3 x - 2) (x + 2)^{2}

的几个特性.

求出 $y$ ‍轴交点

为了求图像

f

的

y

-轴交点, 我们可以求

f (0)

。

$\begin{aligned} f (x) & = (3 x - 2) (x + 2)^{2} \\ f (0) & = (3 (0) - 2) (0 + 2)^{2} \\ f (0) & = (- 2) (4) \\ f (0) & = - 8 \end{aligned}$ ‍

图像

y = f (x)

的

y

-截距是

(0, - 8)

。

求出 $x$ ‍-轴交点

想求

x

-交点, 我们可以解等式

f (x) = 0

。

$\begin{aligned} f (x) & = (3 x - 2) (x + 2)^{2} \\ 0 & = (3 x - 2) (x + 2)^{2} \end{aligned}$ ‍
$\begin{aligned} ↙ & ↘ \\ 3 x - 2 & = 0 & or x + 2 & = 0 & 零的乘法特性 \\ x & = \frac{2}{3} & or x & = - 2 \end{aligned}$ ‍

y = f (x)

图像的

x

-交点是

(\frac{2}{3}, 0)

以及

(- 2, 0)

。

\frac{2}{3}

的零是

1

次,

- 2

的零是

2

次. 这意味着图像在

(\frac{2}{3}, 0)

处与

x

轴相交, 在

(- 2, 0)

与

x

轴相切.

求末端走势

要找到函数的末端走势, 我们可以分析函数标准形式的首项。

让我们用标准形式写出等式。

$\begin{aligned} f (x) & = (3 x - 2) (x + 2)^{2} \\ f (x) & = (3 x - 2) (x^{2} + 4 x + 4) \\ f (x) & = 3 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x - 2 x^{2} - 8 x - 8 \\ f (x) & = 3 x^{3} + 10 x^{2} + 4 x - 8 \end{aligned}$ ‍

多项式的首项是

3 x^{3}

,因此函数

f

的末端走势和

3 x^{3}

一样。

由于它的次幂是奇数, 首项的系数是正数, 末端走势如下: 当

x \to + \infty

f (x) \to + \infty

以及当

x \to - \infty

f (x) \to - \infty

。

绘制图像

我们可以使用上面的结论来绘制

y = f (x)

的草图.

让我们从末端走势开始:

当 $x \to + \infty$ ‍, $f (x) \to + \infty$ ‍.
当 $x \to - \infty$ ‍, $f (x) \to - \infty$ ‍.

这意味着, 在 "末端" , 图形将看起来像

y = x^{3}

的图.

现在我们可以增加我们所知道的

x

-交点:

图像在 $(- 2, 0)$ ‍点与 $x$ ‍轴接触, 因为 $- 2$ ‍处的零点是偶数次幂。
图像在 $(\frac{2}{3}, 0)$ ‍点穿过 $x$ ‍-轴, 因为 $\frac{2}{3}$ ‍处的零点是奇数次幂。

最后, 我们画出

y

轴交点

(0, - 8)

, 在它们的间隙中填充一条平滑连续的曲线并完成这一步.

虽然我们不知道转折点的确切位置, 但我们仍然对函数图的整体形状有一个很好的了解!

正与负区间

现在, 我们有了

f

的草图, 所以很容易确定

f

的正数以及负数区间.

当

x > \frac{2}{3}

时

f

是正数 , 当

x < - 2

或者

- 2 < x < \frac{2}{3}

时

f

是负数.

请检查你是否理解

1) 现在你自己试画出

g (x) = (x + 1) (x - 2) (x + 5)

的草图。

a) $g (x) = (x + 1) (x - 2) (x + 5)$ ‍的 $y$ ‍轴交点是什么?
$(0$ ‍,
你的答案是
一个整数，例如 $6$ ‍
一个最简真分数,如 $3 / 5$ ‍
一个最简假分数,如 $7 / 4$ ‍
一个混合带分数，例如 $1 3 / 4$ ‍
一个精确的十进位小数，例如 $0.75$ ‍
pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$
$)$ ‍

b) $g (x) = (x + 1) (x - 2) (x + 5)$ ‍的图像的末端走势是什么?
选出正确答案：
(选择 A)
当 $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍, 当 $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍.
(选择 B)
当 $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍, 当 $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍.
(选择 C)
当 $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍, 当 $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍.
(选择 D)
当 $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍, 当 $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍.

要找到函数的末端走势, 我们可以分析函数标准形式的首项。
让我们用标准形式写出等式。
$\begin{aligned} g (x) & = (x + 1) (x - 2) (x + 5) \\ g (x) & = (x + 1) (x^{2} + 3 x - 10) \\ g (x) & = x^{3} + 3 x^{2} - 10 x + x^{2} + 3 x - 10 \\ g (x) & = x^{3} + 4 x^{2} - 7 x - 10 \end{aligned}$ ‍
多项式的首项是 $x^{3}$ ‍, 因此函数 $g$ ‍的末端走势与 $x^{3}$ ‍相同。
由于它的次幂是奇数, 首项的系数是正数, 末端走势如下: 当 $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍ 以及当 $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍。

c) $g (x) = (x + 1) (x - 2) (x + 5)$ ‍图像的 $x$ ‍-轴交点是什么?
选出正确答案：
(选择 A)
$(1, 0)$ ‍, $(- 2, 0)$ ‍, 以及 $(5, 0)$ ‍
(选择 B)
$(- 1, 0)$ ‍, $(2, 0)$ ‍, 和 $(- 5, 0)$ ‍

d) 以下哪个图像可能是 $g (x) = (x + 1) (x - 2) (x + 5)$ ‍的图像?
选出正确答案：
(选择 A)
(选择 B)
(选择 C)
(选择 D)

2) 以下图像哪个是 $y = (2 - x) (x + 1)^{2}$ ‍的图像

首先让我们求出

y = (2 - x) (x + 1)^{2}

的末端走势和所有的交点。然后我们可以利用这些画出草图。

$y$ ‍轴交点

要找

y

-截距, 我们可以将

0

代入

x

，并计算

y

。

$\begin{aligned} y & = (2 - x) (x + 1)^{2} \\ y & = (2 - 0) (0 + 1)^{2} \\ y & = 2 \end{aligned}$ ‍

y

轴交点是

(0, 2)

$x$ ‍轴交点

要找

x

轴交点, 我们可以将

0

代入

y

并求解

x

。

\begin{aligned} y & = (2 - x) (x + 1)^{2} \\ 0 & = (2 - x) (x + 1)^{2} \\ 2 & - x = 0 或 x + 1 = 0 \\ x & = 2 或 x = - 1 \end{aligned}

因为

- 1

处的零是偶数次幂, 图像在

(- 1, 0)

与

x

轴相切, 因为

2

处的零是奇数次幂, 图像在

(2, 0)

处穿过

x

轴.

末端走势

要断定末端走势, 我们要看多项式的首项。如果我们将多项式写成标准式, 我们得到:

$\begin{aligned} y & = (2 - x) (x + 1)^{2} \\ y & = (2 - x) (x^{2} + 2 x + 1) \\ y & = 2 x^{2} + 4 x + 2 - x^{3} - 2 x^{2} - x \\ y & = - x^{3} + 3 x + 2 \end{aligned}$ ‍

因此最终,

y = (2 - x) (x + 1)^{2}

的图像与

y = - x^{3}

相似.

末端走势是: 当

x \to + \infty

y \to - \infty

, 当

x \to - \infty

y \to + \infty

绘制图像

综合以上信息, 我们可以看到唯一相似的图像是

D

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分析多项式函数

求出y‍ 轴交点

求出x‍ -轴交点

求末端走势

绘制图像

正与负区间

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求出 $y$ ‍轴交点

求出 $x$ ‍-轴交点