多项式的零点及其图像

用多项式函数 y=x^3+3x^2+x+3的实根 来确定哪一个是其正确的函数图像 这道题有多种解法 第一种解法，我们可以直接 将选项图像中的零点代入函数 看是否使它等于零 这里，我建议你先暂停视频 自己试着做一做 我假设你已经试过了 我们首先来看 选项A的函数图像 它的零点显然是这一个 通过观察 可以估计出 它的零点是x=-3 看上去就是(-3,0)这个点了 我们来看，如果把x=-3代入原函数 是否能令函数值为零 -3^3 +3×(-3)^2+(-3)+3 结果等于多少呢？ 这部分等于-27 这个是+27 这个是-3 这个是+3 这两项互相抵消 这两项也互相抵消 因此这个函数值确实为零 这个很直接 图像A是正确的 你可以试试这边图像B 看起来这个函数的零点 为x=-2 还有一个是x=1，另一个是x=3 如果你代入x=-2，x=1 或者x=3的话，肯定不成立 我们已经知道A是正确的了 这不可能是函数值为零 你能够验证出这个选项不正确 这个也是同样情况 如果把4或7代入函数中 你是肯定不可能得到零的 因为任何实数方程都不能在x为4或7的时候等于零 另一个可以看出这个选项不正确的根据是 这样你的方程就有了三个解 让我把这个写下来 总共是三个根 这三个根可能是实数或复数根 有一个重要依据是复数根总是成对出现 所以你这样就是有三个实数根 这个就是有三个实数根的情况 尽管我们已经知道 它不可能是正确答案了 如果你有一个复数根 你就必然有另一个与其成对出现的 如果你有另一个复数根 可能的情况就是一个实数根和两个复数根 这个是有两个实数根的情况 这个可能性不成立 那就意味着你可能只有一个复数根 而那是不可能的 另一种思路 稍微复杂一点 我们就当没有这些选项中的图像 题目就要你求出函数的根 你可以尝试对它进行因式分解 这个确实是可以分解的 y=x^3+3x^2+x+3 上一个视频中我们讲过 对高于二次的多项式进行分解需要技巧 如果真要做的话 可以先尝试进行分组 特别是在如果你已经看出 有一些项有公因子的情况 比方说，前面这两项 有公因子x^2 如果把它提取出来 就得到了x^2×(x+3) 这很工整，跟后面两项的外形很相似 我们可以把后面两项写成+1×(x+3) 然后就可以把x+3提取出来了 提出x+3之后 我们就得到了(x+3)×(x^2+1) 现在要来求它的零点了 整个这个函数y 等于零的话 这两项中的任意一个就要等于零 什么时候x+3=0呢？ 两边同时减去3 就得到了x=-3 什么时候x^2+1=0呢？ 就得到了x^2=-1 当然，没有任何实数 可以令 x^2=-1 因为那样的话，x就是一个虚数 或者可以说 x得是一个复数根 再强调一次，这样你就有 一对复数根了 唯一一个实数根是x=-3