一级反应（与微积分）

－ 【画外音】假设一级反应是 A 物质转化为我们的产物， 而当时间变量等于零时 我们有 A 物质的初始浓度， 经过某段时间 T 之后， 我们又有了 A 物质在 T 时的浓度， 需要根据这些条件求出反应速率。 以前的视频里，教过 反应速率可以 A 物质的减少速率来表示， 因此可以用 A 物质浓度的变化 除以时间的变化这个代数式， 这里加上一个负号，可以得到 正值的反应速率。 也可以用反应速率通式， 对于这个通式， 反应速率等于速率常数 K 乘以 A 物质的浓度， 而因为这是一级反应， 浓度的乘方是一次方, 这些我们在以前的视频里谈到过。 这两个式子相等，对吧？ 因为它们都等于反应速率， 可以说反应物 A 的消失率， 即反应物 A 浓度的负变化 除以时间的变化等于常数 K 乘以反应物 A 的浓度的一次方。 这里左边是平均反应速率， 如果需要瞬时速率， 得用微积分，对吧？ 所以对于瞬时速率， 就得这么写，反应物 A 的 浓度对于时间的导数， 等于常数 K 乘以反应物 A 的一次方， 这样就有了一个微分方程， 解了一个微分方程 你就得到一个函数， 而所得的函数将 是以时间为变量的浓度函数， 这就是大概的解题方向， 解这个微分方程第一步 必须分离变量， 因此你要把所有反应物 A 的浓度变量放到一边， 时间变量 t 在另一边， 所以方程两边都除以反应物 A 的浓度， 先看方程的左边， 两边除以反应物 A 的浓度函数， 左边得到这样的式子。 两边都乘以 dt 把时间变量集中在右边， 右边就得到和常数 K 的乘积， 我也顺便把 负号放在右边， 这样把变量重整以后 就可以进行积分了，对吧？ 分离变量以后就 可以做积分， 主要是左边， 因为 K 是常数， 就不需要参与积分了， 就放在积分号外面， 我们看一下， 积分区间是什么？ 我们先回头看时间变量。 时间变量的区间 应该是从零到 T， 而对于浓度积分区间 从初始浓度到 T 时刻反应物浓度， 这样把积分区间写进方程里， 所以右边的积分是从零到 T, 而左边从反应物 A 的初始浓度 到末了浓度， 或者说是反应物 A 于时间为 T 时的浓度。 方程的左边用积分公式，可以得到 反应物 A 的浓度的自然对数，对吧？ 因此这就是反应物 A 的浓度的自然对数， 而我们要代入 初始浓度和 T 时刻 的浓度进行计算， 而在右边积分的结果就是 t， 得到 负 K t，区间是零到 t。 下一步要用微积分基本定理， 左边是反应物 A 在 T 时刻的浓度的自然 对数减去反应物 A的 初始浓度的自然对数， 而在右边就等于 －K t， 这是一种积分求 反应速率的方法， 所以在目前的化学先修课里的公式中， 这就是个一级反应公式， 是积分求出的反应速率通式。 这个积分求出的反应速率通式， 只是可以写出的一种形式。 用代数方法可以把它 表达成其它的形式， 在以后的视频里我们会介绍， 这个形式的公式可以 用来解某些问题，下面我要 把这个公式做一点调整。 我们把初始浓度的自然对数 加在原公式的两边， 经过这个调整， 我们得到 T 时刻反应物 A 的浓度的自然对数等于负 KT 加上反应物 A 的初始浓度的自然对数， 经过这个调整后的 公式可以看出其函数图 是一条直线。 记得 Y 等于 MX 加上 B吗？ 直线函数的通式 就是Y 等于 MX 加上 B, 如果考虑这里的函数图怎么画， 就是把 A 物质的浓度 的自然对数当作 y 变量， 而把时间当作 x 变量，对吧？ M 就是直线方程的斜率， 等于 －K， 而截距 B， 就是 A 物质的 初始浓度的自然对数， 把这些情况综合 一下，画一个草图， 就是这样... 假设这是 y 坐标轴，这是 x 坐标轴。 把坐标轴标注好， 对于 y 轴我们左边标注好， 是 T 时刻 A 物质的 浓度的自然对数， 而 x 轴就是时间，对吧？ 这就是我们的函数图， 这个函数的图形 应该是一条直线，对吧？ 这个图就是直线。 我要把它画在 这里，就这样 画一条直线， 这就是 y 截距。 而 y 截距就应该是 A 物质的 初始浓度的自然对数。 所以这一点是 y 截距， 应该是 A 物质的初始浓度的自然对数， 这条直线的斜率， 我们回头看一下... 直线的斜率 M， 应该等于负 K， 如果你求出这条线的斜率， 这个斜率就等于 －K， 而这个斜率就是反应速率中的常数， A 物质的浓度的自然对数作为时间变量的 函数图就是斜率为 －K 的直线。