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课程: 电器工程 > 单元 2

课程 1: 电路元素

理想元素与源

理想的模型的电阻，电容，和电感。理想电压和电流源。威利·麦卡利斯特著。

电路由元件构成。元件包括至少一个电源。电源连接到一堆组件。我们将用理想的数学抽象来描述电源和组件。到本文结束时，我们将获得一个很好的方程集合，可以组合起来生成许多有用的电子相关的函数。下一篇文章描述了一些真实组件，他们离我们在此定义的较完美的抽象概念也非常接近。

元件可以是电源或者组件。

电源提供电路的能源。有两种基本类型。

电压源
电流源

组件分为三种基本类型，每一类都具有不同的电压-电流关系。

电阻器
电容器
电感器

这些源和组件具有两个端子或连接点。不用觉得奇怪，它们被称为*

2

-端子元件 *。

理想电源

恒压电源

理想的恒压电源具有固定的输出电压，与连接到其端子的元件所消耗的电流无关，如电流与电压曲线所示：

恒压电源的公式是，

v = V

其中

V

是某种常量输出电压，如

v = 3 V

。

你经常会看到与电压相关的变量名称

e

，来源于术语 “电动势” 或 emf。在谈论来自电源（电池或发电机）的电压时，有时会使用该术语。

恒定电压源两个常用符号：

左侧的符号用于电池。电池符号上的较长水平线表示电池的正极端子，较短的水平线表示负极端子。圆圈符号代表一些其他电压源，通常是电源。在圆圈内绘制

+

和

-

符号是一种很好的做法。

变压电源

理想的变电压源以时间函数的形式产生已知的电压，与连接到其端子的元件所消耗的电流无关，如

电 压

与

时 间

曲线所示：

变压电源方程式是，

v = v (t)

v (t)

可以是正弦波或任何其他的时变电压，例如单电压阶跃或重复方波。

变压电源的符号是：

电路内的波形表明这个特殊符号代表一个正弦波发生器。对于不同的波形形状，你会遇到此符号的变体。

如果它们连接的组件需要它，这些理想的电压源数学抽象可以产生任意巨大的输出电流。当然，这在现实生活中不会发生。巨大的电流只有在你进行模拟电路实验的时候才会出现。计算机并不介意数十亿安培的电流，但它可能不是你想要的。

恒流电源

理想的恒流电源具有固定的输出电流，与连接到其端子的电压无关，如

电 流

与

电 压

图所示：

恒流电源的公式是，

i = I

其中

I

是某种常量输出电流，如

i = 2 mA

。

恒流电源的符号是：

箭头显示当前正流方向。

理想电流源端子处的电压变为推出恒定电流所需的任何电压，即使该电压是巨大的。当我们构建实际电流源时，与理想的电流源抽象模型相比，操作范围受到极大的限制。

电阻

电阻上的电压与流过它的电流成正比。

v = R i 欧姆定律

这种关系被称为欧姆定律。你将在电路工作中使用这个等式很多次。

R

是比例常数，表示阻力。电阻的单位为欧姆，用希腊首都欧米茄符号表示，

Ω

。

电阻的

i

v

图如下所示。绘制的等式是

i = v / R

，因此该线的斜率为

1 / R

。

电阻的符号：

在美国和日本，电阻符号是Z字形。在英国、欧洲和世界其他地区，电阻器通常被绘制成盒子。

欧姆定律可以用多种方式编写，所有这些都很有用，

v = i R i = \frac{v}{R} R = \frac{v}{i}

欧姆定律需要背下来。

我记忆欧姆定律的办法是只记忆其中的一个形式。我会一直重复

e = i R e i R e i R e i R …

直到它向嵌入到大脑中。（

e

与

v

都被用于电压符号）；我好像是喜欢

e

的声音。）

在说出自己记忆的口头禅之后，很快就能用简单的心智公式推导出其他形式。

此图是记忆欧姆定律的另一种途径，

将某个手指或大拇指放在想要的变量

(v

i

, or

R)

上，并阅读公式。例如，要求

R

，盖住

R

并读取

v / i

。为了找

v

, 盖住

v

并读

i R

。

你应该选择任何适合你的方法来记住欧姆定律。这是非常值得的一件事。

电阻的功率

当电流经过电阻时会有一部分能量消耗。

当电子与电阻器材料中的原子碰撞时，流过电路中的能量将转换为热量。使用欧姆定律可以用几种方式表达能量。这些都是等价的，

p = v i

p = (i R) i = i^{2} R

p = v (\frac{v}{R}) = \frac{v^{2}}{R}

最后两个表达式表明，电阻器中的功率与电压或电流的平方成比例地上升（或下降）。

将电压或电流提高 $2$ ‍ 倍，耗电量增加 $4$ ‍ 倍。
电压或电压减少一半，耗电量降低
阿伦找到了一种将电阻器两端的电压降低两倍的方法。当贝斯看到阿伦的新设计时，她想出如何将电阻器中的电流减少两倍。

电容器

描述电容器的基本公式将电容器上的电荷与电容器两端的电压相关联。

Q = C V

比例常数

C

是电容。电容的单位为法拉，用大写字母

F

表示。电容单位是法拉，从上面的等式我们看到，

1 farad = 1 coulomb / volt

如果电荷可以移动，我们有一个术语；移动电荷称为电流。电流是电荷变化的时间速率，

i = \frac{d q}{d t}

使用这个想法，让我们从

Q = C V

的两边关于时间的衍生，看看我们得到了什么，

\frac{d q}{d t} = C \frac{d v}{d t}

我们最终得到一个公式，说明 电容器 中的电流与电容器两端电压的 时间变化率 成正比，

i = C \frac{d v}{d t}

这个电容器方程式捕获了电容器的

i

v

关系。它还告诉我们电路可能会受到时间的影响。

电容器的符号：

具有曲线的版本用于以某种方式制造的电容器，该方式要求一个端子相对于另一个端子具有正电压。曲线表示需要保持更多的负电压。

我们可以通过积分两边来翻转电容器方程式以

i

求解

v

，从而得到电容器方程的积分形式，

v = \frac{1}{C} \int_{- \infty}^{T} i d t

积分的

- \infty

下限表明电容器在时间

T

时的电压不仅取决于电容器电流，而且取决于电流的整个过去历史。那是很久以前的事了，所以我们经常在某个已知的时间（例如

t = 0

）从一些已知的电压

v_{0}

开始写这个积分，然后跟踪那里的变化。

v = \frac{1}{C} \int_{0}^{T} i d t + v_{0}

电容的功率与能量

与电容器相关的瞬时功率（瓦特）是，

p = v i

p = v C \frac{d v}{d t}

存储在电容器中的能量

(U)

是随着时间的推移而集成的功率，

U = \int p d t = \int v C \frac{d v}{d t} d t = C \int v d v

如果我们假设在积分开始时电容器电压是

0 V

，那么积分值为：

U = \frac{1}{2} C v^{2}

与电阻相比，电阻能量会因热量而损失，理想电容中的能量不会消散。相反，电容中以电荷形态存储的能量，会在从电容中流出时恢复。

电感器

电感器 上的电压与通过电感的电流的 时间变化率 成正比，

v = L \frac{d i}{d t}

这种特性源于电感器在周围磁场中存储能量的能力。存储的磁能可以通过产生电流返回到电路。

比例常数

L

被称为电感。电感的单位是亨利，用大写字母H表示。

这种电感特性出现在线圈中是一个复杂的话题，涉及电和磁之间的密切关系，这超出了本文的范围。现在，请相信电感器两端的电压与电流变化率成正比。

电感器的符号：

它看起来像是缠绕在线圈中的导线，因为这是制作电感器的常用方法。

与电容器方程类似，我们可以用积分形式写出电感器方程，以

v

的形式得到

i

。注意电容器和电感器方程之间的亲缘关系。

i = \frac{1}{L} \int_{- \infty}^{T} v d t

v = \frac{1}{C} \int_{- \infty}^{T} i d t

积分的

- \infty

下限意味着电感在

T

时的电流取决于电感电压的整个过去历史。我们通常在一些已知的时间（例如

t = 0

）从一些已知的当前

i_{0}

开始写这个积分，然后跟踪那里的变化。

i = \frac{1}{L} \int_{0}^{T} v d t + i_{0}

电感器的功率与能量

与电感器相关的瞬时功率（瓦特）为

p = i v

p = i L \frac{d i}{d t}

存储在电感器磁场中的能量

(U)

随着时间的推移是功率积分，

U = \int p d t = \int i L \frac{d i}{d t} d t = L \int i d i

U = \frac{1}{2} L i^{2}

与电阻相比，能量会因热量而损失，理想电感中的能量不会消散。相反，当磁场中的能量转换回导线中的电流时，存储在电感器磁场中的能量可以完全恢复。

理想元件方程的总结

以下是三个重要的电路元件

i

v

的方程，

v = i R

欧姆定律

i = C \frac{d v}{d t}

电容方程

v = L \frac{d i}{d t}

电感方程

这三个方程式是你进行电路分析的工具。

此外，我们还开发了这些功率和能量的表达式。

电阻器中的功率是

p = i v

或

i^{2} r

或

v^{2} / r

电容器中的能量是

\frac{1}{2} C v^{2}

电感器中的能量是

\frac{1}{2} L i^{2}

下一篇文章将描述现实世界的物理元件如何接近数学理想模型。

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