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课程: 电器工程 > 单元 3

课程 2: 电场，电势，电压

带电直线

高级示例：无限长度的均匀带电直线周围的电场。引用自 Willy McAllister。

解题过程：带电直线附近的电场

我们推导一个关于带电直线附近电场的表达式。

结果将会显示带电直线附近的电场下降到

1 / a

，其中

a

是距离带电直线的距离。

假设我们的线长度

L

，总电荷为

Q

且电荷分配均匀。因为线上的总电荷为

Q

，所以用库伦每米作为单位表示的电荷密度是：

μ = \frac{Q}{L}

假设有一个检验电荷

q

位于带电直线中点的对面，且距离

a

。

在 $q$ ‍ 的位置，由于带电直线的存在而产生的电场有多少？

这个推导过程将会引入一个对于有着任何长度

L

、任意距离

a

的电场的通解。利用这个通解，我们可以解决一个非常有用的应用：相对于检验电荷和带电直线之间的距离，直线本身非常长。也就是

L ≫ a

的情况。

首先，我们需要构建并命名一些变量。

$a$ ‍ 是检验电荷 $q$ ‍ 和带电直线之间的距离。
$d Q$ ‍ 是在带电直线上一个小区域 $d x$ ‍ 内包含的一个很细微的电荷。
$x$ ‍ 是带电直线和 $a$ ‍ 的垂足到 $d Q$ ‍ 之间的距离。
$r$ ‍ 是 $d Q$ ‍ 和检验电荷 $q$ ‍ 之间的距离。
$θ$ ‍ 是 $a$ ‍ 和 $r$ ‍ 的夹角。

环绕着点电荷

Q

的电场是：

E = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{Q}{r^{2}}

在检验电荷

q

的区域，在微量的

d Q

的电荷作用下产生的电场是：

d E = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{d Q}{r^{2}}

电荷量

d Q

可以用电荷密度来重新表示，即

d Q = μ d x

：

d E = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} μ \frac{d x}{r^{2}}

此问题中最合适的自变量是角度

θ

。通过等式变形，用角度范围消除

d θ

而并非消除在带电直线上的

d x

（这就是换元法），并以此来来简化分析。

我们的目标是在表达式中用

d x

来表示

d θ

。之后，我们会把以上放进新的电场表达式中。

一些有用的三角恒等式，余弦，正割，还有正切。

\cos θ = \frac{a}{r} r = a \frac{1}{\cos θ} = a \sec θ r^{2} = a^{2} \sec^{2} θ

\tan θ = \frac{x}{a} x = a \tan θ

我们的目标是用

d θ

来替换掉

d x

，所以用正切的特性取对于

θ

的

x

的导数。

\frac{d x}{d θ} = a \frac{d}{d θ} \tan θ

\frac{d x}{d θ} = a \sec^{2} θ

d x = a \sec^{2} θ d θ

最后，计算

\frac{d x}{r^{2}}

，

\frac{d x}{r^{2}} = \frac{a \sec^{2} θ d θ}{a^{2} \sec^{2} θ}

化简一下，最终得到可以替换

d x

和

r

的、用

d θ

和

a

表示的表达式。

\frac{d x}{r^{2}} = \frac{d θ}{a}

现在我们回到之前的讨论并应用换元后得到的东西。

换元之后，我们可以用新变量

d θ

重制草图。

应用换元法之后，我们就可以将

\frac{d θ}{a}

替代前式中的

\frac{d x}{r^{2}}

：

d E = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} μ \frac{d θ}{a}

现在我们利用电荷排列的对称性，只求

y

方向上的电场 (穿过

q

的直线的方向)。

这就表明我们可以将电场

d E

缩小到角

θ

的余弦 (cosine) 倍：

d E_{y} = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{μ}{a} \cos θ d θ

我们现在就可以求积分（相加）每一个

d Q

的影响来得到电场：

E_{y} = \int_{- θ}^{+ θ} \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{μ}{a} \cos θ d θ

这就是求距离有着任何长度

L

的带电直线

a

距离处的电场的通解。极限

\pm θ

是指向带电直线任意一端的角。

应用: 超长带电直线

相对于检验电荷和带电直线之间的距离，直线本身非常长，也就是

L ≫ a

。上述情景我们刚才解决了。如果你站在电荷

q

的位置，然后转头看向这个超长带电直线的任意一端，你的头会转动（非常接近）

\pm 90^{\circ}

(

\pm π / 2

弧度)。这就是我们积分的极限：

E_{y} = \int_{- π / 2}^{+ π / 2} \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{μ}{a} \cos θ d θ

将所有与

θ

无关的量移到积分外面：

E_{y} = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{μ}{a} \int_{- π / 2}^{+ π / 2} \cos θ d θ

计算积分：

E_{y} = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{μ}{a} \sin θ |_{- π / 2}^{+ π / 2} = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{μ}{a} (+ 1 - - 1) = \frac{2}{4 π ϵ_{0}} \frac{μ}{a}

最后，在距离点

a

长度的超长带电直线带来的电场是：

E_{y} = \frac{μ}{2 π ϵ_{0}} \frac{1}{a}

如果你一直看到这里，干得漂亮！从这个练习中得来的一个重要的发现是：对比点电荷

1 / r^{2}

的电场，带电直线的电场下降到了

1 / a

。

我们计算了很多才推导出这个结果。现在最好是坐下来花点时间，好好吸收这个结果以及它的推导过程。看完推导过程，你的直觉有没有告诉你：比起点电荷的

1 / r^{2}

，带电直线有不同的指数，即

1 / a

？

如果你还记得平方反比定律那一篇文章里 “黄油枪” 的故事，那你能不能为带电直线设计一把新的黄油枪来喷出

1 / a

的规律？

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