什么是磁通量?

如果图 1 中的蓝色区域面积相同并且角度 $\theta$‍ 是 ${25}^{\circ }$‍, 图 1-左与图 1-右相比通过这个区域的磁通量小多少?

答案

观察通过一个区域的磁通量的公式, 我们可以看到如果面积和磁场保持不变那么唯一剩下的因素就是角度. 在这个例子中图像显示了垂直于磁场的方向和蓝色区域之间的夹角. 这与磁场和垂直于蓝色区域的向量之间的夹角是一样的. 所以因为

$\cos {25}^{\circ }\simeq 0.91$‍

通过旋转了一点的区域的磁通量比垂直于磁场的区域的磁通量小大约 9%.

我们如何测量磁通量?

图 2 显示了在一块磁性材料附近所测量到的非均匀磁场图. 如果绿线代表了一圈导线, 那么通过这个导线圈的磁通量是多少?

图 2: 导线圈周围的磁场测量图 (绿色).

答案

为了求出磁通量我们需要知道导线圈的面积和与它相交的磁场的大小. 在这个例子中因为磁场并不是均匀的, 所以我们需要取导线圈所包括的区域里磁场的平均值.

$\begin{array}{rl}{B}_{avg}& =\frac{123\mathrm{mT}}{30}\\ & =4.1\mathrm{mT}\end{array}$‍

$\begin{array}{rl}\mathrm{\Phi }& =A{B}_{avg}\\ & =(0.05\mathrm{m}\cdot 0.06\mathrm{m})\cdot (4.1\mathrm{mT})\\ & =0.0123\mathrm{mWb}\end{array}$‍

为什么这是有用的?

1. 当一个线圈在磁场中移动的时候会产生一个电压, 电压的大小是根据通过线圈的磁通量决定的. 法拉第定律 描述了这一现象 法拉第定律. 电动机和发电机是法拉第定律的应用, 它们的线圈以图 3中显示的方式在一个磁场中旋转. 在这个例子中磁通量会因为线圈的旋转而改变. 磁通量这样的表达可以使得工程师们很容易的计算出发电机产生的电压有多大, 即使在磁场是很难以表达的情况下.

   图 3: 发电机中旋转的线圈的简化示意图 (公有领域图片).

2. 即使我们现在只考虑了在一块简单平面区域中磁通量的测量, 我们也可以让我们测试区域是一个表面或者是任何我们想要的形状. 事实上, 我们可以用一个如球体的 封闭表面 来表示我们所关注的被测试区域. 对于物理学家来说封闭面积特别有趣是因为 高斯磁定律. 因为磁铁总是有两极并且 (就我们所知) 在封闭表面内并不存在 磁单极. 这也就意味着通过这样一个表面的 净 磁通量永远为 0 因此所有进入这个表面的磁场线都会正好被从表面 出来 的磁场线所抵消. 这个事实对于简化磁场问题很有帮助.

一根通电导线周围的磁通量

图 4 显示了一个放置在通电导线附近的方形导线环. 根据图上的标识, 求出通过线圈的磁通量. 如果你不知道如何计算导线周围的磁场, 回顾这篇文章 磁场. 提示: 画出磁场与到导线的垂直距离可能比较有帮助.

图 4: 通过一个放置在通电导线附近的线圈的磁通量.

答案

回顾我们的文章 磁场, 距离一根通过电流为 $I$‍ 距离为 $r$‍ 的长直导线的磁场公式是

$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}$‍.

这里 ${\mu }_0$‍ 是 真空透性. ${\mu }_0=4\pi \cdot {10}^{-7}\mathrm{T}\cdot \mathrm{m}/\mathrm{A}$‍.

如果我们把磁场画成一个关于垂直距离的方程我们就可以用曲线下 $x$‍-轴上两点之间的面积来表示与线圈相交的面积, 来求出磁通量. 有很多方式可以测量这个; 最准确的是使用微积分. 然而, 一个简单的图像测量基本上已经足够了. 图 5 中灰色面积代表了与线圈相交的面积.

图 5: 练习1中磁场随距离的变化图。

数图 5中的灰色方块, 我们有大约 44.5 个方块. 所以总面积是

$44.5\cdot (5\cdot {10}^{-3}\mathrm{m})\cdot (5\cdot {10}^{-6}\mathrm{T})=1.1125\cdot {10}^{-6}\mathrm{Tm}$‍

面积直接给了我们磁场乘以距离，但是我们需要磁场乘以面积. 因为磁场并不沿着水平方向变化，所以我们可以直接用它乘以线圈的宽度.

$\begin{array}{rl}\mathrm{\Phi }& =(1.1125\cdot {10}^{-6}\mathrm{Tm})\cdot (75\cdot {10}^{-3}\mathrm{m})\\ & \simeq 8\cdot {10}^{-8}\mathrm{Wb}\end{array}$‍