用变换证明三角形的SSS全等标准

－ 【教师】本视频中我们要教的 是如果两个三角形的 对应边都相等， 比如这条桔色的边和这条桔色的边长度相同， 这条蓝色的边也和这条蓝色的边长度相同， 这两条灰色的边长度也相同， 然后我们根据全等的 刚性变换定义推断出 这两个三角形全等。 要证明这一点，只需要证明 存在一系列刚性变换可以把三角形 ABC 映射到三角形 EDF上。 如何着手呢？ 首先我们以前在其它视频里已经证明， 如果有两条线段长度相同， 它们就是全等的。 可以利用刚性变换把其中一个映射到另一个上。 因此我们来用刚性变换把线段 AB 映射到线段 ED 上去。 这个变换不难想象。 可以先看点 A。 可以把左边的三角形进行平移 使点 A 和点 E 重合， 这样线段 AB 就移到这里， 指向是这样。 然后围绕这一点进行旋转。 这一点可以称为 A'。 我们就标识这一点为 A'。 经过围绕它的旋转变换 我们让 AB 和 ED 重合。 这一步我们以前在其它视频里教过。 这时点 D 就是点 B'，就是 点 B 经过变换后的位置。 问题是点 C' 在哪里？ 如果我们能证明点 C' 要么和点 F 是同一点， 要么再经过一个刚性变换 它就和点 F重合，那么 我们就有了完整的证明。 我们就能够证明 经过一系列的刚性变换, 可以把这个三角形 映射到这个三角形上。 为了找到点 C 的映射点， 我们需要用圆规。 我们知道点 C 距离点 A 有这么远。 我用圆规量一下。 反过来量也一样。 点 C 距离点 A 就是这么远。 所以这就意味着点 C' 也应该离 A' 这么远，在我用这个 圆规所作的这条弧线上某一点。 弧线上的每一点离点 A' 都是这么远。 如果我画整个圆，情况也是一样。 因此点 C 的映射点 C' 就应该在这个圆弧上 的某一点，因为它和 点 A' 之间的距离已确定。 我们也同样知道点 C 和点 B 的距离是这么多。 我来调整一下圆规。 点 C 离点 B有这么远， 而如果点 B 的映射点在这里， 这里就是 B'， 那么点 C的映射点 C' 就在这条弧线上的某一点, 因此这两条弧线就是确定点 C' 的约束线， 点 C' 必须在这两条弧线上。 所以一种可能是点 C' 刚好与点 F 重合， 而如果我们的刚性变换 刚好让点 C 映射到点 F 上， 我们的证明就完成了。 我们刚才所作的都是刚性变换。 还有一种可能是当 我们完成以上的变化后， 点 C' 映射到这里。 这时还能作什么 刚性变换让点 C' 和点 F 重合呢？ 记得其它两点已经 和点 E 及点 D 重合了，现在只需要 让点 C 和点 F 重合。 一方面我们发现， 点 E 和点 C' 的距离刚好 等于点 E 和点 F 之间的距离。 看得出这两段线相等， 可以用三道标记来注释， 因为这两段都等于这段弧线 的半径，所以我们得知 点 C' 与点 D 的距离等同于 点 F 与 点 D 的距离。 另一方面设想 有一条直线段连接 点 F 和点 C'，我用 直尺来画出这条线 让你们看清楚些， 这时我们仍处于这么一种情况， 就是经过以前的关系变换点 C' 和 点 F 处于线段 ED 的两边， 可以看出点 E 与点 C' 的 距离等于它和点 F 的距离， 点 E 一定在线段 FC 的 垂直平分线上。 点 D 或者点 B' 也是这样。 这条一定是条垂直平分线， 因为这一点到点 F 的距离 等于它到点 C' 的距离。 这一点到点 F 的距离等于它到点 C' 的距离。 与点 F 及点 C' 等距离的 所有点形成了线段 FC' 的垂直平分线。 所以这条桔色线就是 FC' 的垂直平分线。 这个结论能有什么用呢？ 从这个结论出发， 如果我们经过变换使线段 AB 映射到线段 ED， 而这时点 C' 还没有和点 F 重合， 我们只需要再做一个变换。 我们只需要以线段 ED 或 A'B' 这条桔色线为 对称轴作对称反射， 这下点 C 必定 和点 F 重合， 因为该桔色线是垂直平分线。 因此我可以得出， 这条线段等于这条线段， 且因为它是垂直平分线， 以它作对称反射， 点 C' 就会与点 F 重合。 对称反射是一种刚性变换， 因此我们完成了证明。